Vandermonde-determinanáns

Forrás

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\pagestyle{empty} 
\voffset - 60pt 
\hoffset - 60pt 
\textwidth 450pt
\textheight 700pt
\parindent 20pt


\begin{document}

\centerline{\bf 1.5 Vandermonde-determináns}}
\bigskip

Gyakran előfordulnak az alábbi speciális típusú determinánsok:
\bigskip

{\bf 1.5.1 Definíció}

Legyen $\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n$ tetszőleges. 
A $\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n$ elemek által generált 
{\it Vandermonde-determináns}

\[V(\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n)=
\left| \begin{array}{ccccc}
1 & \gamma_1 & \gamma_1^2 & \dots & \gamma_1^{n-1} \\
1 & \gamma_2 & \gamma_2^2 & \dots & \gamma_2^{n-1} \\
1 & \gamma_3 & \gamma_3^2 & \dots & \gamma_3^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & \gamma_n & \gamma_n^2 & \dots & \gamma_n^{n-1}
\end{array} \right|
\]

A Vandermonde-determináns $i$-edik sorában tehát rendre 
$\gamma_i$-nek $0, 1, \dots, n-1$-edik hatványa áll.
Ha két generáló elem azonos, 
akkor két egyforma sor van, és így a determináns 0. 
Az alábbi sorozatalakból kiderül, hogy ennek a megfordítása is igaz.

\bigskip
{\bf 1.5.2 Tétel}
\bigskip

\[V(\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n)=
\left| \begin{array}{ccccc}
1 & \gamma_1 & \gamma_1^2 & \dots & \gamma_1^{n-1} \\
1 & \gamma_2 & \gamma_2^2 & \dots & \gamma_2^{n-1} \\
1 & \gamma_3 & \gamma_3^2 & \dots & \gamma_3^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & \gamma_n & \gamma_n^2 & \dots & \gamma_n^{n-1}
\end{array} \right| = \prod_{1\le j<i\le n} (\gamma_i - \gamma_j)
\]

\bigskip
{\it Bizonyítás}: Vonjuk ki jobbról bal felé haladva minden oszlopból 
az őt megelőző oszlop $\gamma_1$-szeresét:
\[\left| \begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
1 & \gamma_2-\gamma_1 & \gamma_2^2-\gamma_1\gamma_2 & \dots & \gamma_2^{n-1}-\gamma_1\gamma_2^{n-2} \\
1 & \gamma_3-\gamma_1 & \gamma_3^2-\gamma_1\gamma_3 & \dots & \gamma_3^{n-1}-\gamma_1\gamma_3^{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & \gamma_n-\gamma_1 & \gamma_n^2-\gamma_1\gamma_n & \dots & \gamma_n^{n-1}-\gamma_1\gamma_n^{n-2}
\end{array} \right|
\]

Most vonjuk le minden sorból az első sort, 
ezzel az első oszlop utolsó $n-1$ eleme is 0 lesz, 
a többi elem pedig nem változott. A második, harmadik stb. sorból
rendre $\gamma_2-\gamma_1$-et, $\gamma_3-\gamma_1$-et stb. kiemelhetünk. 
Ezzel a

\[
(\gamma_2-\gamma_1)\dots(\gamma_n-\gamma_1)
\left| \begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 1 & \gamma_2 & \dots & \gamma_2^{n-2}\\
0 & 1 & \gamma_3 & \dots & \gamma_3^{n-2}\\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 1 & \gamma_n & \dots & \gamma_n^{n-2}\\
\end{array} \right| = (\gamma_2-\gamma_1)\dots(\gamma_n-\gamma_1)V(\gamma_2,\dots,\gamma_n)
\]
alakra jutottunk. Így a feladatot egy eggyel kisebb rendű 
Vandermonde-determinánsra vezettük vissza. 
A fenti eljárást megismételve (vagy teljes indukcióval) adódik a tétel.

\end{document}

Kép



PDF