Forrás\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\pagestyle{empty}
\voffset - 60pt
\hoffset - 60pt
\textwidth 450pt
\textheight 700pt
\parindent 20pt
\begin{document}
\centerline{\bf 1.5 Vandermonde-determináns}}
\bigskip
Gyakran előfordulnak az alábbi speciális típusú determinánsok:
\bigskip
{\bf 1.5.1 Definíció}
Legyen $\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n$ tetszőleges.
A $\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n$ elemek által generált
{\it Vandermonde-determináns}
\[V(\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n)=
\left| \begin{array}{ccccc}
1 & \gamma_1 & \gamma_1^2 & \dots & \gamma_1^{n-1} \\
1 & \gamma_2 & \gamma_2^2 & \dots & \gamma_2^{n-1} \\
1 & \gamma_3 & \gamma_3^2 & \dots & \gamma_3^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & \gamma_n & \gamma_n^2 & \dots & \gamma_n^{n-1}
\end{array} \right|
\]
A Vandermonde-determináns $i$-edik sorában tehát rendre
$\gamma_i$-nek $0, 1, \dots, n-1$-edik hatványa áll.
Ha két generáló elem azonos,
akkor két egyforma sor van, és így a determináns 0.
Az alábbi sorozatalakból kiderül, hogy ennek a megfordítása is igaz.
\bigskip
{\bf 1.5.2 Tétel}
\bigskip
\[V(\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n)=
\left| \begin{array}{ccccc}
1 & \gamma_1 & \gamma_1^2 & \dots & \gamma_1^{n-1} \\
1 & \gamma_2 & \gamma_2^2 & \dots & \gamma_2^{n-1} \\
1 & \gamma_3 & \gamma_3^2 & \dots & \gamma_3^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & \gamma_n & \gamma_n^2 & \dots & \gamma_n^{n-1}
\end{array} \right| = \prod_{1\le j<i\le n} (\gamma_i - \gamma_j)
\]
\bigskip
{\it Bizonyítás}: Vonjuk ki jobbról bal felé haladva minden oszlopból
az őt megelőző oszlop $\gamma_1$-szeresét:
\[\left| \begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
1 & \gamma_2-\gamma_1 & \gamma_2^2-\gamma_1\gamma_2 & \dots & \gamma_2^{n-1}-\gamma_1\gamma_2^{n-2} \\
1 & \gamma_3-\gamma_1 & \gamma_3^2-\gamma_1\gamma_3 & \dots & \gamma_3^{n-1}-\gamma_1\gamma_3^{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & \gamma_n-\gamma_1 & \gamma_n^2-\gamma_1\gamma_n & \dots & \gamma_n^{n-1}-\gamma_1\gamma_n^{n-2}
\end{array} \right|
\]
Most vonjuk le minden sorból az első sort,
ezzel az első oszlop utolsó $n-1$ eleme is 0 lesz,
a többi elem pedig nem változott. A második, harmadik stb. sorból
rendre $\gamma_2-\gamma_1$-et, $\gamma_3-\gamma_1$-et stb. kiemelhetünk.
Ezzel a
\[
(\gamma_2-\gamma_1)\dots(\gamma_n-\gamma_1)
\left| \begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 1 & \gamma_2 & \dots & \gamma_2^{n-2}\\
0 & 1 & \gamma_3 & \dots & \gamma_3^{n-2}\\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 1 & \gamma_n & \dots & \gamma_n^{n-2}\\
\end{array} \right| = (\gamma_2-\gamma_1)\dots(\gamma_n-\gamma_1)V(\gamma_2,\dots,\gamma_n)
\]
alakra jutottunk. Így a feladatot egy eggyel kisebb rendű
Vandermonde-determinánsra vezettük vissza.
A fenti eljárást megismételve (vagy teljes indukcióval) adódik a tétel.
\end{document}
KépPDF |