Forrás

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphics}
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey}
\pagestyle{empty}
\voffset - 85pt
\hoffset - 70pt
\textwidth 450pt
\textheight 700pt
\parindent 0pt
\parskip 8pt

\begin{document}

\centerline{\LARGE A másodfokú egyenlet megoldóképlete}

Legyen $ax^2+bx+c=0$ egy másodfokú egyenlet. ($a\ne 0, a,b,c \in \mathbb{R}$)

\textbf{Tétel:} A fenti egyenlet megoldásai:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

\textbf{Bizonyítás:} Az eredeti egyenletet leosztjuk $a(\ne 0)$-val:
$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

Teljes négyzetté alakítunk:
$$ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0$$

Közös nevezőre hozunk:
$$ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)=0$$

Akkor van megoldás, ha a diszkrimináns $D=b^2-4ac\ge 0$. 
Ilyenkor a konstans felfogható egy szám négyzeteként:
$$ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)^2=0$$

Szorzattá alakítunk az $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ képlet alapján:
$$\left(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\cdot 
\left(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)=0$$

Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, ezért két megoldást kaptunk:

$$x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

\end{document}

Kép

kép

PDF